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    “当时,要求”是复合函数的极限运算法则中一个重要的条件,也是法则中难于理解的一个条件,本文通过实例说明缺少这个条件定理结论未必成立,并且讨论在其他趋近方式下,复合函数极限的存在性. [关键词]复合函数;极限 同济大学高等数学教材第六版中有这样一个关于复合函数的极限运算法则,内容如下 定理1设函数是由函数与函数复合而成,在点的某去心邻域内有定义,若满足,,且存在,当时,有,则.(证明略) 在教学的过程中,我发现许多同学对于定理中“当时有,”这一条件理解的不好或者是没有注意,或者并不知道它的作用,认为是可有可无. 其实这是很重要的一个条件,如果没有这一条件,定理结论未必成立,现举例说明 例1设. 讨论复合函数在处 的极限. 解由复合函数的定义,有 . 且,. 显然,.本例说明,当“时,有,”不满足时,复合函数的极限存在,但是未必等于外层函数的极限. 例2设,,讨论复合函数 在处的极限. 解由题可知,.由复合函数的定义,有 ,如果取,,有,,根据heine定理,复合函数在处不存在极限,因此不能在处收敛于. 本例说明,当“时,有,”不满足时,复合函数的极限未必存在. 根据函数极限趋近方式,我们还可以讨论在其他趋近方式下复合函数的极限运算法则. 定理2设函数是由函数与函数复合而成,在点的某个去心邻域内有定义,若满足,,则 证明由,知,,使得当时,有成立. 又由,根据无穷大的定义,对于上述的,,当时,有或,从而有. 故. 定理3设函数是由函数与函数复合而成,若满足,,且存在,当时,有,则. 证明由,由极限的定义知,,使得当时,有成立.又由,根据极限的定义,对于上述的,,当时,. 取,则有或(因为),从而有. 故. 定理4设函数是由函数与函数复合而成,若满足,,则. 证明由,由极限定义知,,使得当时,有成立. 又由,根据无穷大的定义,对于上述的,,当时,有或,从而有. 故. 定理5设函数是由函数与函数复合而成,若满足,在处连续,则. 证明因为在处连续,对于,,使得当时,有成立. 又,对于上述的,存在,使得当时,有或,从而有成立. 即 [参 考 文 献] [1]同济大学应用数学系. 高等数学(上册)[M]. 北京高等教育出版社,2001.47 [2]同济大学应用数学系. 微积分(上册)[M]. 北京高等教育出版社,1999.53 [3]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京北京大学出版社,1987.45 [4]郭明普. 复合函数极限的存在性[J]. 南都学坛(自然科学版),2001.91 通信作者 王金宝工作单位沈阳建筑大学理学院

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